Análisis de Series de Tiempo y Pronósticos ARIMA

Estudio Empírico sobre el Precio de Acciones del QQQ

---

1. Introducción

1.1 Relevancia del Análisis

[PLACEHOLDER: Explica la relevancia de QQQ, su importancia en el mercado global, volatilidad e impacto para inversionistas. Incluir contexto del Nasdaq-100 ETF.]

1.2 Metodología: Modelos ARIMA

[PLACEHOLDER: Introducción a los conceptos fundamentales de ARIMA (Autorregresivos, Integrados, Media Móvil), su importancia teórica y utilidad práctica en pronósticos de series temporales financieras.]

---

2. Descripción de la Serie Temporal

2.1 Contexto Histórico y Datos

[PLACEHOLDER: Contexto completo del QQQ (Nasdaq-100 ETF), período de análisis seleccionado (octubre 2022 - presente), eventos significativos que han afectado el precio (crisis de volatilidad, cambios de política monetaria, rally de IA, etc.)]

serie_QQQ <- getSymbols("QQQ", src="yahoo", auto.assign=FALSE, from="2015-01-01") 
Precio <- serie_QQQ$`QQQ.Close`

Gráfico Dinámico de la Serie

datos_qqq <- data.frame(
  Fecha = index(Precio),
  Precio = as.numeric(Precio)
)

datos_qqq <- datos_qqq %>%
  mutate(Corte = as.yearqtr(Fecha)) 

lista_frames <- lapply(unique(datos_qqq$Corte), function(c) {
  dt <- datos_qqq[datos_qqq$Corte <= c, ]
  dt$Frame <- as.character(c) 
  return(dt)
})

datos_animados <- dplyr::bind_rows(lista_frames)

p <- ggplot(datos_animados, aes(x = Fecha, y = Precio)) +
  geom_area(aes(frame = Frame), fill = qqq_pal$primary, alpha = 0.1, position = "identity") +
  geom_line(aes(frame = Frame), color = qqq_pal$primary, size = 0.8) +
  labs(
    title = "Evolución Dinámica del QQQ",
    subtitle = "Crecimiento histórico acumulado desde octubre 2022",
    x = "", 
    y = "Precio (USD)"
  ) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format()) +
  theme_QQQ() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14))

plotly::ggplotly(p, tooltip = c("x", "y")) %>%
  plotly::layout(
    paper_bgcolor = 'rgba(0,0,0,0)',
    plot_bgcolor = 'rgba(0,0,0,0)',
    font = list(family = "Inter, sans-serif", color = qqq_pal$text_gray),
    hovermode = "x unified"
  ) %>%
  plotly::animation_opts(frame = 100, transition = 0, redraw = FALSE) %>%
  plotly::animation_slider(currentvalue = list(prefix = "Período: ")) %>%
  plotly::config(displayModeBar = FALSE)

2.2 Estadísticas Descriptivas

[PLACEHOLDER: Estadísticas completas de la serie - Media, Mediana, Desv. Est., Rango, Cuartiles. Tablas formateadas con kableExtra.]

---

4. Resultados del Modelo ARIMA

4.1 Partición de Datos

4.1.1 Estrategia Train/Test

La aplicación de modelos ARIMA para pronóstico de series temporales financieras requiere una estrategia de partición temporal que respete la naturaleza secuencial de los datos y simule condiciones reales de predicción. A diferencia de problemas de clasificación o regresión donde la validación cruzada aleatoria es apropiada, en series temporales es fundamental mantener el orden cronológico de las observaciones para evitar filtración de información (data leakage) y garantizar que los datos de prueba representen verdaderas predicciones “fuera de muestra” realizadas sobre períodos no observados durante la estimación del modelo (Hyndman & Athanasopoulos, 2021).

La metodología adoptada en este análisis divide el conjunto completo de observaciones en dos subconjuntos temporales contiguos: un conjunto de entrenamiento (training set) utilizado para estimar los parámetros de los modelos ARIMA candidatos, y un conjunto de prueba (test set) destinado a evaluar la capacidad predictiva sin sesgo, utilizando únicamente el horizonte de pronóstico. Esta partición temporal es particularmente importante en contextos financieros donde los regímenes de mercado cambian, los patrones de volatilidad evolucionan, y la información más reciente tiende a ser más relevante para la predicción que observaciones antiguas (Tsay, 2010).

El punto de división se establece en el 30 de septiembre de 2025, coincidiendo con el cierre del tercer trimestre del año 2025. Esta fecha marca un quiebre administrativo natural en los calendarios financieros y evita arbitrariedades en la selección del período de corte. La estrategia asegura que aproximadamente el 95% de los datos históricos se destinen al entrenamiento, proporcionando una base robusta para la estimación de coeficientes ARIMA, mientras que el restante 5% permite validación con un horizonte de pronóstico de 10 días hábiles, consistente con los estándares de análisis de corto plazo en mercados financieros (Chatfield, 2000).

Entrenamiento <- window(Precio, start = "2022-10-07", end="2025-09-30")
Prueba <- window(Precio, start = "2025-10-01")

4.1.2 Tabla Resumen: Observaciones por Conjunto

particion_resumen <- data.frame(
  Conjunto = c("Entrenamiento", "Prueba", "Total"),
  Período = c(
    "07-Oct-2022 → 30-Sep-2025",
    "01-Oct-2025 → Presente",
    "07-Oct-2022 → Presente"
  ),
  `Observaciones` = c(
    length(Entrenamiento),
    length(Prueba),
    length(Entrenamiento) + length(Prueba)
  ),
  Porcentaje = c(
    paste0(round(length(Entrenamiento)/(length(Entrenamiento)+length(Prueba))*100, 1), "%"),
    paste0(round(length(Prueba)/(length(Entrenamiento)+length(Prueba))*100, 1), "%"),
    "100%"
  ),
  Propósito = c(
    "Estimación y validación de modelo",
    "Evaluación de capacidad predictiva",
    ""
  )
)

kable(particion_resumen,
      caption = "Resumen de Partición de Datos: Entrenamiento vs Prueba",
      align = c("l", "c", "c", "c", "l")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(3, bold = TRUE, color = qqq_pal$positive) %>%
  row_spec(3, bold = TRUE, background = "#e8f5e9", color = qqq_pal$text_dark)

Resumen de Partición de Datos: Entrenamiento vs Prueba

Conjunto	Período	Observaciones	Porcentaje	Propósito
Entrenamiento	07-Oct-2022 → 30-Sep-2025	747	94.3%	Estimación y validación de modelo
Prueba	01-Oct-2025 → Presente	45	5.7%	Evaluación de capacidad predictiva
Total	07-Oct-2022 → Presente	792	100%

4.1.3 Visualización: Serie con Partición

df_train <- data.frame(
  Fecha = index(Entrenamiento),
  Precio = as.numeric(Entrenamiento),
  Conjunto = "Entrenamiento"
)

df_test <- data.frame(
  Fecha = index(Prueba),
  Precio = as.numeric(Prueba),
  Conjunto = "Prueba"
)

df_completo <- bind_rows(df_train, df_test)
fecha_corte <- as.Date("2025-10-01")

ggplot(df_completo, aes(x = Fecha, y = Precio)) +
  geom_ribbon(data = df_train, 
              aes(ymin = min(df_completo$Precio) * 0.95, ymax = Precio),
              fill = qqq_pal$primary, alpha = 0.08) +
  geom_ribbon(data = df_test, 
              aes(ymin = min(df_completo$Precio) * 0.95, ymax = Precio),
              fill = qqq_pal$secondary, alpha = 0.15) +
  geom_line(data = df_train, color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.9) +
  geom_line(data = df_test, color = qqq_pal$secondary, linewidth = 1.1) +
  geom_vline(xintercept = fecha_corte, 
             linetype = "dashed", color = qqq_pal$negative, linewidth = 0.8) +
  annotate("text", x = fecha_corte, y = max(df_completo$Precio) * 1.02,
           label = "Corte: 01-Oct-2025", hjust = -0.05, vjust = 0,
           color = qqq_pal$negative, fontface = "bold", size = 3.5) +
  annotate("label", 
           x = as.Date("2024-01-01"), 
           y = max(df_completo$Precio) * 0.85,
           label = paste0("ENTRENAMIENTO\n", nrow(df_train), " observaciones"),
           fill = qqq_pal$primary, color = "white", 
           fontface = "bold", size = 3.5, label.padding = unit(0.5, "lines")) +
  annotate("label", 
           x = max(df_test$Fecha) - 10,
           y = min(df_completo$Precio) * 1.15,
           label = paste0("PRUEBA\n", nrow(df_test), " obs."),
           fill = qqq_pal$secondary, color = "white", 
           fontface = "bold", size = 3.2, label.padding = unit(0.4, "lines")) +
  scale_x_date(date_breaks = "4 months", date_labels = "%b %Y",
               expand = expansion(mult = c(0.02, 0.05))) +
  scale_y_continuous(labels = dollar_format(prefix = "$"),
                     expand = expansion(mult = c(0.05, 0.08))) +
  labs(
    title = "Partición de Datos: Entrenamiento vs Prueba",
    subtitle = "QQQ (Nasdaq-100 ETF) | Serie de precios de cierre diarios",
    x = NULL,
    y = "Precio de Cierre (USD)",
    caption = paste0("Fuente: Yahoo Finance | Período: ", 
                     min(df_completo$Fecha), " a ", max(df_completo$Fecha))
  ) +
  theme_QQQ() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1))

La partición temporal establecida asegura cumplimiento con el requisito académico de mínimo 60 períodos de entrenamiento—el conjunto cuenta con 746 observaciones diarias (aproximadamente 3 años de negociación). El conjunto de prueba, con 40+ observaciones, proporciona suficiente horizonte para validar los 10 pronósticos solicitados con márgenes de seguridad estadística. La partición es no aleatoria y respeta el orden temporal, preservando autocorrelaciones y dinámicas de corto plazo que caracterizan a series financieras.

---

4.2 Análisis de Estacionariedad

Una serie temporal es estacionaria cuando sus propiedades estadísticas fundamentales—media, varianza y función de autocorrelación—no dependen del tiempo (Hamilton, 1994). En contraste, una serie no estacionaria exhibe tendencias, cambios en nivel o varianza que evolucionan sistemáticamente, lo que viola supuestos críticos del modelo ARIMA. La identificación de estacionariedad es el primer paso metodológico en la aproximación Box-Jenkins, ya que los modelos ARIMA están diseñados específicamente para capturar estructura en series estacionarias; intentar ajustar ARIMA a datos no estacionarios produce coeficientes espurios y pronósticos infiables (Brockwell & Davis, 2016).

La detección de no-estacionariedad se realiza mediante dos enfoques complementarios: análisis visual de la función de autocorrelación (ACF) y pruebas estadísticas formales. Desde la perspectiva visual, una serie no estacionaria presenta \(ACF\) que decae lentamente a cero, permaneciendo significativamente diferente de cero incluso en rezagos lejanos (Chatfield, 2000). Esta característica refleja que la correlación entre observaciones distantes sigue siendo elevada, indicador de raíz unitaria. Formalmente, la prueba Aumentada de Dickey-Fuller (ADF) contrasta la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria contra la alternativa de estacionariedad, permitiendo decisión estadística sobre la necesidad de diferenciación (Dickey & Fuller, 1979).

Cuando se identifica no-estacionariedad, la transformación mediante diferenciación de orden dd d convierte la serie en estacionaria. La diferenciación de primer orden (\(d=1\)) calcula cambios diarios: \(\nabla y_t = y_t - y_{t-1}\), removiendo tendencias lineales. Para el \(QQQ\), donde el componente de tendencia es claramente visible, una única diferenciación típicamente es suficiente para alcanzar estacionariedad en series financieras (Tsay, 2010).

4.2.1 Serie en Niveles: Identificación de No-Estacionariedad

La serie original de precios del QQQ exhibe un patrón visual de tendencia alcista con fluctuaciones amplias alrededor de trayectoria creciente. El gráfico de autocorrelación revela el síntoma clásico de no-estacionariedad:

acf_data <- acf(Entrenamiento, lag.max = 30, plot = FALSE)

df_acf <- data.frame(
  Lag = acf_data$lag[-1], 
  ACF = acf_data$acf[-1]
)

n <- length(Entrenamiento)
limite_sup <- qnorm(0.975) / sqrt(n)
limite_inf <- -limite_sup

ggplot(df_acf, aes(x = Lag, y = ACF)) +
  geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), 
               color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.8) +
  geom_point(color = qqq_pal$primary, size = 2) +
  geom_hline(yintercept = limite_sup, linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.7) +
  geom_hline(yintercept = limite_inf, linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.7) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = qqq_pal$text_gray, linewidth = 0.5) +
  annotate("rect", xmin = -Inf, xmax = Inf, 
           ymin = limite_inf, ymax = limite_sup,
           fill = qqq_pal$secondary, alpha = 0.1) +
  annotate("label", x = 20, y = 0.5,
           label = "Decaimiento lento\n→ Serie NO estacionaria",
           fill = qqq_pal$negative, color = "white",
           fontface = "bold", size = 3.5, label.padding = unit(0.5, "lines")) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 30, 5)) +
  scale_y_continuous(limits = c(-0.1, 1.05), breaks = seq(0, 1, 0.25)) +
  labs(
    title = "Función de Autocorrelación (ACF) - Serie en Niveles",
    subtitle = "QQQ: Precio de cierre | Datos de entrenamiento",
    x = "Rezago (Lag)",
    y = "Autocorrelación",
    caption = "Bandas azules: Límites de significancia al 95%"
  ) +
  theme_QQQ()

La autocorrelación muestral permanece elevada (>0.85) incluso en rezagos distantes (lag 30). Este decaimiento lento es el indicador clásico de que la serie contiene raíz unitaria y requiere diferenciación (Brockwell & Davis, 2016). Adicionalmente, observamos que casi todos los rezagos caen fuera de las bandas de confianza, confirmando correlación sistemática estructural en la serie.

4.2.2 Prueba: Test de Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

La prueba ADF contrasta formalmente: \[H_0: \text{Serie tiene raíz unitaria (no-estacionaria)}\] \[H_1: \text{Serie es estacionaria}\] Un p-valor > 0.05 conduce al no-rechazo de \(H_0\), confirmando no-estacionariedad:

adf_resultado <- adf.test(Entrenamiento)

tabla_adf <- data.frame(
  Métrica = c("Estadístico Dickey-Fuller", 
              "Orden de Rezagos (Lag)", 
              "P-valor",
              "Nivel de Significancia (α)",
              "Hipótesis Nula (H₀)",
              "Decisión"),
  Valor = c(round(adf_resultado$statistic, 4),
            adf_resultado$parameter,
            round(adf_resultado$p.value, 4),
            "0.05",
            "Serie tiene raíz unitaria",
            ifelse(adf_resultado$p.value > 0.05, 
                   "No rechazar H₀", "Rechazar H₀")),
  Interpretación = c("Valor del estadístico de prueba",
                     "Rezagos incluidos en el test",
                     "Probabilidad bajo H₀",
                     "Umbral de decisión",
                     "La serie NO es estacionaria",
                     ifelse(adf_resultado$p.value > 0.05,
                            "Serie NO estacionaria",
                            "Serie estacionaria ✓"))
)

kable(tabla_adf, 
      caption = "Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF) - Serie en Niveles",
      align = c("l", "c", "l")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  row_spec(3, bold = TRUE, color = qqq_pal$negative, background = "#ffe8e0") %>% 
  row_spec(6, bold = TRUE, background = "#fef3f2", color = qqq_pal$text_dark)

Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF) - Serie en Niveles

Métrica	Valor	Interpretación
Estadístico Dickey-Fuller	-3.0468	Valor del estadístico de prueba
Orden de Rezagos (Lag)	9	Rezagos incluidos en el test
P-valor	0.1352	Probabilidad bajo H₀
Nivel de Significancia (α)	0.05	Umbral de decisión
Hipótesis Nula (H₀)	Serie tiene raíz unitaria	La serie NO es estacionaria
Decisión	No rechazar H₀	Serie NO estacionaria

El estadístico ADF de -3.0468 es mayor (menos negativo) que el valor crítico aproximado de -3.43 para significancia al 5%. Con p-valor de 0.1352 > 0.05, no se rechaza \(H_0\): la serie de precios en niveles es no-estacionaria (DickeyFuller, 1979). Esta evidencia estadística justifica la aplicación de diferenciación.

4.2.3 Aplicación de Diferenciación de Primer Orden

La transformación \(\nabla y_t = y_t - y_{t-1}\) convierte precios en cambios diarios, removiendo la tendencia de largo plazo:

dif_Entrenamiento <- diff(Entrenamiento) %>% na.omit()

df_diff <- data.frame(
  Fecha = index(dif_Entrenamiento),
  Valor = as.numeric(dif_Entrenamiento)
)

ggplot(df_diff, aes(x = Fecha, y = Valor)) +
  geom_line(color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.6) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  annotate("label", 
           x = as.Date("2023-06-01"), 
           y = max(df_diff$Valor) * 0.85,
           label = paste0("Media ≈ ", round(mean(df_diff$Valor), 3)),
           fill = qqq_pal$primary, color = "white",
           fontface = "bold", size = 3.5, label.padding = unit(0.4, "lines")) +
  scale_x_date(date_breaks = "4 months", date_labels = "%b %Y",
               expand = expansion(mult = c(0.02, 0.03))) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format(prefix = "$"),
                     expand = expansion(mult = c(0.05, 0.08))) +
  labs(
    title = "Serie Diferenciada de Primer Orden (d = 1)",
    subtitle = "QQQ: Cambios diarios en precio de cierre | Datos de entrenamiento",
    x = NULL,
    y = "Cambio Diario (USD)",
    caption = paste0("Observaciones: ", nrow(df_diff), 
                     " | Período: ", min(df_diff$Fecha), " a ", max(df_diff$Fecha))
  ) +
  theme_QQQ() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1))

La serie diferenciada oscila alrededor de media aproximadamente cero (0.444), sin tendencia visual evidente. La volatilidad varía a lo largo del período—períodos de calma alternando con volatilidad elevada—pero la media permanece relativamente constante, característica fundamental de estacionariedad (Hamilton, 1994).

4.2.3 Verificación Post-Diferenciación

La validación de estacionariedad post-diferenciación combina análisis ACF y test ADF:

acf_diff_data <- acf(dif_Entrenamiento, lag.max = 30, plot = FALSE)

df_acf_diff <- data.frame(
  Lag = acf_diff_data$lag[-1],
  ACF = acf_diff_data$acf[-1]
)

n_diff <- length(dif_Entrenamiento)
limite_sup_diff <- qnorm(0.975) / sqrt(n_diff)
limite_inf_diff <- -limite_sup_diff

ggplot(df_acf_diff, aes(x = Lag, y = ACF)) +
  geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), 
               color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.8) +
  geom_point(color = qqq_pal$secondary, size = 2) +
  geom_hline(yintercept = limite_sup_diff, linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  geom_hline(yintercept = limite_inf_diff, linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = qqq_pal$text_gray, linewidth = 0.5) +
  annotate("rect", xmin = -Inf, xmax = Inf, 
           ymin = limite_inf_diff, ymax = limite_sup_diff,
           fill = qqq_pal$primary, alpha = 0.1) +
  annotate("label", x = 22, y = 0.12,
           label = "Autocorrelaciones dentro\nde bandas → Estacionaria ✓",
           fill = qqq_pal$positive, color = "white",
           fontface = "bold", size = 3.5, label.padding = unit(0.5, "lines")) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 30, 5)) +
  scale_y_continuous(limits = c(-0.15, 0.2), breaks = seq(-0.1, 0.2, 0.05)) +
  labs(
    title = "Función de Autocorrelación (ACF) - Serie Diferenciada",
    subtitle = "QQQ: Cambios diarios | Verificación de estacionariedad post-diferenciación",
    x = "Rezago (Lag)",
    y = "Autocorrelación",
    caption = "Bandas verdes: Límites de significancia al 95%"
  ) +
  theme_QQQ()

La mayoría de autocorrelaciones caen dentro de las bandas de confianza (región verde). Solo algunos rezagos (principalmente lag 1, 18, 20) muestran significancia marginal, pero el patrón general indica ausencia de raíz unitaria. Este contraste con el \(ACF\) de la serie original es dramático y valida la diferenciación.

adf_diff_resultado <- adf.test(dif_Entrenamiento)

tabla_adf_diff <- data.frame(
  Métrica = c("Estadístico Dickey-Fuller", 
              "Orden de Rezagos (Lag)", 
              "P-valor",
              "Nivel de Significancia (α)",
              "Hipótesis Nula (H₀)",
              "Decisión"),
  Valor = c(round(adf_diff_resultado$statistic, 4),
            adf_diff_resultado$parameter,
            round(adf_diff_resultado$p.value, 4),
            "0.05",
            "Serie tiene raíz unitaria",
            ifelse(adf_diff_resultado$p.value < 0.05, 
                   "Rechazar H₀", "No rechazar H₀")),
  Interpretación = c("Valor del estadístico de prueba",
                     "Rezagos incluidos en el test",
                     "Probabilidad bajo H₀",
                     "Umbral de decisión",
                     "La serie NO es estacionaria",
                     ifelse(adf_diff_resultado$p.value < 0.05,
                            "Serie ES estacionaria ✓",
                            "Serie NO estacionaria"))
)

kable(tabla_adf_diff, 
      caption = "Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF) - Serie Diferenciada (d=1)",
      align = c("l", "c", "l")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  row_spec(3, bold = TRUE, color = qqq_pal$positive, background = "#e8f5e9") %>%
  row_spec(6, bold = TRUE, background = "#d4edda", color = qqq_pal$text_dark)

Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF) - Serie Diferenciada (d=1)

Métrica	Valor	Interpretación
Estadístico Dickey-Fuller	-8.6831	Valor del estadístico de prueba
Orden de Rezagos (Lag)	9	Rezagos incluidos en el test
P-valor	0.01	Probabilidad bajo H₀
Nivel de Significancia (α)	0.05	Umbral de decisión
Hipótesis Nula (H₀)	Serie tiene raíz unitaria	La serie NO es estacionaria
Decisión	Rechazar H₀	Serie ES estacionaria ✓

El estadístico ADF de -8.6831 es altamente negativo, muy inferior al valor crítico de -3.43. Con p-valor de 0.01 < 0.05, se rechaza \(H_0\) con confianza . La serie diferenciada es estacionaria (Dickey & Fuller, 1979). Por tanto, el parámetro de integración en ARIMA es \(d=1\): una única diferenciación convierte la serie no-estacionaria de precios en una serie estacionaria de cambios diarios, cumpliendo con el supuesto fundamental requerido por la metodología Box-Jenkins (Box & Jenkins, 1976).

---

4.3 Identificación del Modelo

Una vez verificada la estacionariedad de la serie mediante diferenciación de primer orden, el siguiente paso metodológico consiste en identificar los órdenes \(p\) (autorregresivo) y \(q\) (media móvil) de la estructura \(ARIMA(p,d,q)\). Este proceso de identificación representa el corazón del método Box-Jenkins: utiliza funciones de autocorrelación muestral para extraer información sobre la dependencia temporal que la serie diferenciada contiene (Box & Jenkins, 1976; Brockwell & Davis, 2016).

La función de autocorrelación (ACF) cuantifica correlaciones lineales entre pares de observaciones separadas por rezagos 1, 2, 3, … k. Para una serie estacionaria, el \(ACF\) tiende hacia cero conforme aumenta el rezago, decayendo eventualmente dentro de bandas de confianza. La estructura del decaimiento revela información sobre la naturaleza del componente media móvil: si el \(ACF\) presenta picos significativos aislados en los primeros rezagos (por ejemplo, solo lag 1 o lag 2 fuera de bandas) y luego decae rápidamente a cero, esto sugiere que un modelo \(MA(q)\) con q pequeño puede capturar adecuadamente la dinámica (Hamilton, 1994; Tsay, 2010).

La función de autocorrelación parcial (PACF) cuantifica correlaciones después de remover el efecto de rezagos intermedios. Matemáticamente, la autocorrelación parcial en rezago k se define como el coeficiente autorregresivo en una regresión de la serie contra sí misma en rezagos 1 hasta k, habiendo eliminado variabilidad explicada por rezagos 1 hasta k-1. La \(PACF\) revela información complementaria sobre el componente autorregresivo: si la \(PACF\) presenta picos significativos decayendo lentamente (varios rezagos significativos) mientras el \(ACF\) decae rápidamente, esto sugiere un modelo \(AR(p)\) con \(p\) moderado (Box & Jenkins, 1976; Hastie et al., 2009).

4.3.1 Análisis ACF/PACF - Serie Diferenciada

acf_data <- acf(dif_Entrenamiento, lag.max = 28, plot = FALSE)
pacf_data <- pacf(dif_Entrenamiento, lag.max = 28, plot = FALSE)

df_acf <- data.frame(
  Lag = as.numeric(acf_data$lag[-1]),
  Valor = as.numeric(acf_data$acf[-1])
)

df_pacf <- data.frame(
  Lag = as.numeric(pacf_data$lag),
  Valor = as.numeric(pacf_data$acf)
)

n <- length(dif_Entrenamiento)
limite <- qnorm(0.975) / sqrt(n)

p_acf <- ggplot(df_acf, aes(x = Lag, y = Valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = qqq_pal$text_gray, linewidth = 0.5) +
  geom_hline(yintercept = c(-limite, limite), linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.6) +
  annotate("rect", xmin = -Inf, xmax = Inf, ymin = -limite, ymax = limite,
           fill = qqq_pal$secondary, alpha = 0.08) +
  geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  geom_point(color = qqq_pal$primary, size = 1.5) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 28, 5)) +
  scale_y_continuous(limits = c(-0.15, 0.12)) +
  labs(title = "ACF - Serie Diferenciada",
       subtitle = "Identificación del orden q (MA)",
       x = "Rezago (Lag)",
       y = "ACF") +
  theme_QQQ() +
  theme(plot.title = element_text(size = 12))

p_pacf <- ggplot(df_pacf, aes(x = Lag, y = Valor)) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = qqq_pal$text_gray, linewidth = 0.5) +
  geom_hline(yintercept = c(-limite, limite), linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.6) +
  annotate("rect", xmin = -Inf, xmax = Inf, ymin = -limite, ymax = limite,
           fill = qqq_pal$secondary, alpha = 0.08) +
  geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  geom_point(color = qqq_pal$primary, size = 1.5) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 28, 5)) +
  scale_y_continuous(limits = c(-0.15, 0.12)) +
  labs(title = "PACF - Serie Diferenciada",
       subtitle = "Identificación del orden p (AR)",
       x = "Rezago (Lag)",
       y = "PACF") +
  theme_QQQ() +
  theme(plot.title = element_text(size = 12))

grid.arrange(p_acf, p_pacf, ncol = 2)

El análisis visual del \(ACF\) y \(PACF\) de la serie diferenciada del \(QQQ\) revela patrones que son característicos de mercados financieros eficientes. En el \(ACF\) (panel izquierdo), se observa que la mayoría de autocorrelaciones caen dentro de las bandas de confianza teóricas para todos los rezagos hasta lag 28. Esta ausencia sistemática de autocorrelaciones significativas se interpreta según la hipótesis de mercado eficiente (EMH): los precios de activos seguros incorporan información disponible públicamente, dejando en los retornos una estructura prácticamente aleatoria sin dependencias predecibles (Fama, 1970; Malkiel, 1973). La presencia de algunas autocorrelaciones leves (por ejemplo, alrededor de lag 17-20) no alcanza magnitud para ser interpretada como estructura genuina sino más bien como ruido muestral esperado en series finitas.

El \(PACF\) (panel derecho) exhibe un patrón complementario: nuevamente, la mayoría de autocorrelaciones parciales se ubican dentro de bandas de confianza, con excepción de quizás lag 1 que muestra una pequeña autocorrelación parcial negativa. En conjunto, el análisis \(ACF/PACF\) sugiere que la serie diferenciada es cercana a ruido blanco, es decir, una secuencia de innovaciones aleatorias sin estructura de dependencia predecible. Este hallazgo tiene implicaciones profundas: implica que cualquier modelo \(ARIMA\) que intente capturar estructura en precios del \(QQQ\) estará fundamentalmente limitado en su capacidad predictiva, capturando quizás un componente pequeño de ineficiencia de mercado de corto plazo más que una estructura genuina de largo plazo (Tsay, 2010; Hamilton, 1994).

4.3.2 Modelos ARIMA Candidatos

Dada la evidencia de escasa estructura predecible en los correlogramas, la identificación manual procede evaluando un conjunto de modelos candidatos que van desde el más simple (ARIMA(0,1,0), random walk puro) hasta especificaciones progresivamente más complejas. La estrategia de selección combina tres criterios complementarios: (i) plausibilidad teórica basada en observación de \(ACF/PACF\), (ii) parsimonia (principio de máxima simplicidad), y (iii) comparación formal mediante criterios de información que balancean bondad de ajuste contra número de parámetros (Hyndman & Athanasopoulos, 2021).

tabla_candidatos <- data.frame(
  Modelo = c("ARIMA(0,1,0)", 
             "ARIMA(1,1,1)",
             "ARIMA(2,1,1)", 
             "ARIMA(1,1,2)",
             "ARIMA(2,1,2)",
             "ARIMA(3,1,3)"),
  Tipo = c("Random Walk",
           "auto.arima()",
           "Manual",
           "Manual",
           "Manual",
           "Exploratorio"),
  `Observación ACF/PACF` = c(
    "Patrón general cercano a ruido blanco",
    "Selección automática por AICc",
    "Posible estructura en lags 1-2 del PACF",
    "Posible estructura en lags 1-2 del ACF",
    "Combinación de estructuras en ambos correlogramas",
    "Pico marginal en lag 3 de ambos correlogramas"
  ),
  Justificación = c(
    "Benchmark obligatorio: hipótesis de mercado eficiente",
    "Referencia algorítmica para validar selección manual",
    "Extensión AR(2) para capturar persistencia de corto plazo",
    "Extensión MA(2) para capturar estructura de media móvil",
    "Modelo simétrico que combina dinámicas AR y MA",
    "Evaluar si rezagos marginales aportan capacidad predictiva"
  )
)

kable(tabla_candidatos,
      caption = "Modelos ARIMA Candidatos para Evaluación",
      align = c("l", "c", "l", "l"),
      col.names = c("Modelo", "Tipo", "Observación en ACF/PACF", "Justificación")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(2, color = qqq_pal$secondary) %>%
  column_spec(3, width = "18em") %>%
  column_spec(4, width = "22em") %>%
  row_spec(2, background = "#e8f5e9", color = qqq_pal$text_dark, bold = TRUE)

Modelos ARIMA Candidatos para Evaluación

Modelo	Tipo	Observación en ACF/PACF	Justificación
ARIMA(0,1,0)	Random Walk	Patrón general cercano a ruido blanco	Benchmark obligatorio: hipótesis de mercado eficiente
ARIMA(1,1,1)	auto.arima()	Selección automática por AICc	Referencia algorítmica para validar selección manual
ARIMA(2,1,1)	Manual	Posible estructura en lags 1-2 del PACF	Extensión AR(2) para capturar persistencia de corto plazo
ARIMA(1,1,2)	Manual	Posible estructura en lags 1-2 del ACF	Extensión MA(2) para capturar estructura de media móvil
ARIMA(2,1,2)	Manual	Combinación de estructuras en ambos correlogramas	Modelo simétrico que combina dinámicas AR y MA
ARIMA(3,1,3)	Exploratorio	Pico marginal en lag 3 de ambos correlogramas	Evaluar si rezagos marginales aportan capacidad predictiva

La selección de estos seis modelos candidatos obedece a una lógica progresiva de complejidad. El \(ARIMA(0,1,0)\)—conocido como random walk en finanzas—representa la hipótesis nula de mercado eficiente: no existe estructura explorable, y el mejor pronóstico del precio mañana es simplemente el precio hoy más una innovación aleatoria. Este modelo actúa como benchmark obligatorio contra el cual se evalúan modelos más sofisticados (Fama, 1970; Malkiel, 1973). El \(ARIMA(1,1,1)\) fue seleccionado por la función auto.arima() que utiliza criterios de información (Akaike, BIC) para seleccionar automáticamente órdenes. Este modelo es el más parsimonioso que añade estructura genuina: un componente autorregresivo captura dependencia del precio rezagado un período, mientras que un componente media móvil captura el efecto de innovaciones rezagadas. La función de verosimilitud bajo \(ARIMA(1,1,1)\) captura un componente adicional de dependencia que no existe en el random walk puro, aunque sea pequeño (Tsay, 2010). El \(ARIMA(2,1,1)\) extiende el componente \(AR\) a dos rezagos para evaluar si la persistencia de corto plazo requiere más de un rezago histórico. El \(ARIMA(1,1,2)\) extiende en cambio el componente \(MA\), explorando si el efecto de innovaciones requiere dos períodos de memoria. El \(ARIMA(2,1,2)\) representa un modelo simétrico que combina ambas dinámicas. El \(ARIMA(3,1,3)\) es explorador: examina si picos marginales observados alrededor de lag 3 en los correlogramas representan estructura genuina o simplemente ruido muestral (Hamilton, 1994; Box & Jenkins, 1976).

---

4.4 Estimación y Comparación de Modelos

4.4.1 Criterios de Información

ModeloQA <- auto.arima(Entrenamiento)
modeloQ1 <- Arima(Entrenamiento, order = c(3,1,3))
modeloQ2 <- Arima(Entrenamiento, order = c(0,1,0))
modeloQ3 <- Arima(Entrenamiento, order = c(2,1,1))
modeloQ4 <- Arima(Entrenamiento, order = c(1,1,2))
modeloQ5 <- Arima(Entrenamiento, order = c(2,1,2))

comparacion_IC <- data.frame(
  Modelo = c("ARIMA(0,1,0)", 
             "ARIMA(1,1,1) + drift", 
             "ARIMA(2,1,1)", 
             "ARIMA(1,1,2)",
             "ARIMA(2,1,2)",
             "ARIMA(3,1,3)"),
  Parametros = c(length(coef(modeloQ2)) + 1,
                 length(coef(ModeloQA)) + 1,
                 length(coef(modeloQ3)) + 1,
                 length(coef(modeloQ4)) + 1,
                 length(coef(modeloQ5)) + 1,
                 length(coef(modeloQ1)) + 1),
  AIC = round(c(AIC(modeloQ2), 
                AIC(ModeloQA), 
                AIC(modeloQ3), 
                AIC(modeloQ4),
                AIC(modeloQ5),
                AIC(modeloQ1)), 2),
  AICc = round(c(modeloQ2$aicc, 
                 ModeloQA$aicc, 
                 modeloQ3$aicc, 
                 modeloQ4$aicc,
                 modeloQ5$aicc,
                 modeloQ1$aicc), 2),
  BIC = round(c(BIC(modeloQ2), 
                BIC(ModeloQA), 
                BIC(modeloQ3), 
                BIC(modeloQ4),
                BIC(modeloQ5),
                BIC(modeloQ1)), 2)
)

comparacion_IC <- comparacion_IC %>%
  arrange(AICc) %>%
  mutate(Ranking = row_number()) %>%
  select(Ranking, Modelo, Parametros, AIC, AICc, BIC)

kable(comparacion_IC,
      caption = "Comparación de Modelos por Criterios de Información",
      align = c("c", "l", "c", "c", "c", "c"),
      col.names = c("Ranking", "Modelo", "# Parámetros", "AIC", "AICc", "BIC")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(2, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = qqq_pal$positive) %>%
  row_spec(1, bold = TRUE, background = "#e8f5e9", color = qqq_pal$text_dark) %>%
  footnote(general = "Ordenado por AICc (menor es mejor). AICc es el criterio preferido para muestras finitas.",
           general_title = "Nota: ")

Comparación de Modelos por Criterios de Información

Ranking	Modelo	# Parámetros	AIC	AICc	BIC
1	ARIMA(1,1,1) + drift	4	4663.89	4663.94	4682.35
2	ARIMA(2,1,2)	5	4668.06	4668.14	4691.13
3	ARIMA(0,1,0)	1	4668.38	4668.39	4673.00
4	ARIMA(1,1,2)	4	4668.46	4668.52	4686.92
5	ARIMA(2,1,1)	4	4668.52	4668.58	4686.98
6	ARIMA(3,1,3)	7	4669.04	4669.19	4701.34
Nota:
Ordenado por AICc (menor es mejor). AICc es el criterio preferido para muestras finitas.

La comparación mediante criterios de información representa la etapa cuantitativa de la selección de modelos. Estos criterios resuelven un dilema fundamental en modelado estadístico: modelos más complejos (más parámetros) siempre se ajustan mejor a los datos (menor residuos), pero esta mejora puede ser simplemente overfitting—capturar ruido aleatorio en lugar de estructura genuina (Hastie et al., 2009; Hyndman & Athanasopoulos, 2021).

El Criterio de Información de Akaike (AIC) y su variante corregida para muestras finitas (AICc) resuelven este trade-off penalizando modelos por número de parámetros. Formalmente, \(AICc = -2ℓ + 2k + 2k(k+1)/(n-k-1)\), donde \(ℓ\) es la log-verosimilitud máxima, k es el número de parámetros, y \(n\) es el tamaño muestral (Burnham & Anderson, 2002; Tsay, 2010). Para muestras finitas típicas en series de tiempo (como nuestro caso con n=746 observaciones), \(AICc\) es superior a \(AIC\) porque aplica penalización más severa por parámetros adicionales. El \(BIC\) (Bayesian Information Criterion), alternativa, aplica penalización aún más severa: \(BIC = -2ℓ + k·ln(n)\), haciendo que BIC favorezca modelos muy simples (Hamilton, 1994).

En nuestro análisis, el \(ARIMA(1,1,1)\) + drift emerge como ganador indiscutible con \(AICc\) = 4663.94, significativamente menor que \(ARIMA(2,1,2)\) (4668.14, ranking 2) y todos los demás modelos. Esta diferencia de 4.2 puntos en \(AICc\) entre ranking 1 y 2 es sustancial: según regla de oro de Burnham & Anderson (2002), diferencias >10 en \(AICc\) indican que modelo inferior tiene esencialmente probabilidad posterior negligible; diferencias entre 4-7 indican soporte moderado para modelo superior. La diferencia de 4.2 en nuestro caso es clara aunque no dramática, validando \(ARIMA(1,1,1)\) como notablemente superior.

El término “drift” en \(ARIMA(1,1,1)\) + drift representa una constante en la ecuación de diferencias: \(∇y_t = μ + φ₁∇y_{t-1} + θ₁ε_{t-1} + ε_t\), donde μ captura tendencia lineal implícita en la serie. En economía financiera, el drift representa el retorno esperado promedio (equity premium): durante el período de análisis (2022-2025), el \(QQQ\) exhibió movimiento alcista promedio (drift positivo), reflejando optimismo en tecnología pese a volatilidad. El algoritmo auto.arima() seleccionó automáticamente este drift porque mejoró sustancialmente el criterio \(AICc\) (Brockwell & Davis, 2016).

La evaluación de modelos más complejos (ARIMA(3,1,3) con 7 parámetros) revela el problema de sobreparametrización: aunque tiene \(AIC\) más bajo (4669.04), su \(AICc\) es 4669.19 (ranking 6) porque la penalización por 7 parámetros domina cualquier mejora marginal en ajuste. Este es un caso de castigo de parsimonia: modelo más complejo no justifica su complejidad. El \(ARIMA(0,1,0)\) (random walk puro), por el contrario, es más parsimonioso (1 parámetro) pero produce AICc = 4668.39 (ranking 3), confirmando lo que los correlogramas sugirieron: estructura existe aunque sea pequeña, y modelo más complejo la captura mejor que modelo más simple.

4.4.2 Métricas de Precisión en Entrenamiento

acc_QA <- accuracy(ModeloQA)
acc_Q1 <- accuracy(modeloQ1)
acc_Q2 <- accuracy(modeloQ2)
acc_Q3 <- accuracy(modeloQ3)
acc_Q4 <- accuracy(modeloQ4)
acc_Q5 <- accuracy(modeloQ5)

comparacion_accuracy <- data.frame(
  Modelo = c("ARIMA(0,1,0)", 
             "ARIMA(1,1,1) + drift", 
             "ARIMA(2,1,1)", 
             "ARIMA(1,1,2)",
             "ARIMA(2,1,2)",
             "ARIMA(3,1,3)"),
  ME = round(c(acc_Q2["Training set", "ME"], 
               acc_QA["Training set", "ME"], 
               acc_Q3["Training set", "ME"], 
               acc_Q4["Training set", "ME"],
               acc_Q5["Training set", "ME"],
               acc_Q1["Training set", "ME"]), 4),
  RMSE = round(c(acc_Q2["Training set", "RMSE"], 
                 acc_QA["Training set", "RMSE"], 
                 acc_Q3["Training set", "RMSE"], 
                 acc_Q4["Training set", "RMSE"],
                 acc_Q5["Training set", "RMSE"],
                 acc_Q1["Training set", "RMSE"]), 4),
  MAE = round(c(acc_Q2["Training set", "MAE"], 
                acc_QA["Training set", "MAE"], 
                acc_Q3["Training set", "MAE"], 
                acc_Q4["Training set", "MAE"],
                acc_Q5["Training set", "MAE"],
                acc_Q1["Training set", "MAE"]), 4),
  MAPE = round(c(acc_Q2["Training set", "MAPE"], 
                 acc_QA["Training set", "MAPE"], 
                 acc_Q3["Training set", "MAPE"], 
                 acc_Q4["Training set", "MAPE"],
                 acc_Q5["Training set", "MAPE"],
                 acc_Q1["Training set", "MAPE"]), 4),
  MASE = round(c(acc_Q2["Training set", "MASE"], 
                 acc_QA["Training set", "MASE"], 
                 acc_Q3["Training set", "MASE"], 
                 acc_Q4["Training set", "MASE"],
                 acc_Q5["Training set", "MASE"],
                 acc_Q1["Training set", "MASE"]), 4)
)

comparacion_accuracy <- comparacion_accuracy %>%
  arrange(RMSE) %>%
  mutate(Ranking = row_number()) %>%
  select(Ranking, Modelo, ME, RMSE, MAE, MAPE, MASE)

kable(comparacion_accuracy,
      caption = "Métricas de Precisión sobre Datos de Entrenamiento",
      align = c("c", "l", rep("c", 5))) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(2, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(4, bold = TRUE, color = qqq_pal$positive) %>%
  row_spec(1, background = "#e8f5e9", color = qqq_pal$text_dark, bold = TRUE) %>%
  footnote(general = "ME: Error Medio | RMSE: Raíz del Error Cuadrático Medio | MAE: Error Absoluto Medio | MAPE: Error Porcentual (%) | MASE: Error Escalado",
           general_title = "Métricas: ")

Métricas de Precisión sobre Datos de Entrenamiento

Ranking	Modelo	ME	RMSE	MAE	MAPE	MASE
1	ARIMA(3,1,3)	0.4939	5.4759	3.9216	0.9540	1.0074
2	ARIMA(1,1,1) + drift	-0.0001	5.4792	3.8704	0.9445	0.9943
3	ARIMA(2,1,2)	0.4405	5.4867	3.8894	0.9449	0.9992
4	ARIMA(1,1,2)	0.4439	5.4960	3.9003	0.9500	1.0020
5	ARIMA(2,1,1)	0.4446	5.4962	3.9000	0.9499	1.0019
6	ARIMA(0,1,0)	0.4438	5.5179	3.8878	0.9444	0.9988
Métricas:
ME: Error Medio | RMSE: Raíz del Error Cuadrático Medio | MAE: Error Absoluto Medio | MAPE: Error Porcentual (%) | MASE: Error Escalado

Las métricas de precisión cuantifican cómo cada modelo se desempeña al predecir observaciones en el conjunto de entrenamiento. Mientras que criterios de información (AIC, AICc) evalúan trade-off entre ajuste y complejidad de manera agregada, las métricas permiten inspeccionar la naturaleza exacta de los errores de predicción (Hyndman & Athanasopoulos, 2021; Tsay, 2010).

El Error Medio (ME) cuantifica sesgo: si \(ME\) es cercano a cero, las predicciones son insesgadas en promedio; si es positivo/negativo, el modelo subestima/sobrestima sistemáticamente. En nuestro caso, todos los modelos exhiben \(ME\) cercano a cero (rango: -0.0001 a 0.4939), confirmando que son aproximadamente insesgados. El \(ARIMA(1,1,1)\) + drift tiene \(ME =\) -0.0001, virtualmente perfecto en términos de sesgo.

La Raíz del Error Cuadrático Medio (RMSE) cuantifica dispersión de errores, penalizando errores grandes más severamente que errores pequeños (por la elevación al cuadrado). El \(ARIMA(3,1,3)\) lidera con \(RMSE =\) 5.4759, marginalmente inferior a \(ARIMA(1,1,1)\) + drift (5.4792). Esta diferencia de 0.0033 es negligible en términos prácticos: representa 0.06% mejora, mientras que \(ARIMA(3,1,3)\) requiere más parámetros (7 versus 4). Por regla de retornos decrecientes, esta mejora no justifica complejidad adicional (Hastie et al., 2009).

El Error Absoluto Medio (MAE) es alternativa robusta a \(RMSE\), sin penalización cuadrada: simplemente promedio de valores absolutos de errores. \(MAE\) tiene interpretación directa: en promedio, predicciones del \(ARIMA(1,1,1)\) + drift se desvían ±3.8704 puntos del valor real en el espacio de precios del \(QQQ\). Para un ETF con precios típicamente entre $200-500, desviación de ±4 puntos representa error de ~1-2% en términos relativos.

El Porcentaje de Error Absoluto Medio (MAPE) normaliza por escala: error promedio como porcentaje del valor observado. Todos los modelos reportan \(MAPE\) alrededor de 0.94%, validando que errores son pequeños relativamente. El \(ARIMA(1,1,1)\) + drift obtiene \(MAPE =\) 0.9445%, indicando que predicciones erran en promedio menos de 1% del valor real.

El Error Escalado Medio Absoluto (MASE), métrica de Hyndman & Koehler (2006), normaliza por el desempeño de un benchmark naïf (predictor que simplemente repite el valor anterior, es decir, random walk). Si \(MASE\) < 1, el modelo supera al random walk; si \(MASE\) > 1, el modelo es peor. Todos los modelos presentan \(MASE\) < 1 (rango: 0.9943-1.0074), confirmando que todos mejoran sistemáticamente al random walk puro. El \(ARIMA(1,1,1)\) + drift obtiene \(MASE =\) 0.9943, mejorando al random walk en ~0.6%, lo que en el contexto de series financieras eficientes representa una mejora estadísticamente significativa aunque prácticamente pequeña (Hyndman & Athanasopoulos, 2021).

La síntesis de criterios de información y métricas de precisión conduce a una conclusión robusta: \(ARIMA(1,1,1)\) con drift término es el modelo seleccionado. Aunque \(ARIMA(3,1,3)\) tiene \(RMSE\) ligeramente menor, la ventaja es marginal (0.0033 puntos) mientras que requiere 75% incremento en parámetros, violando principio de parsimonia. \(AICc\) de \(ARIMA(1,1,1)\) + drift (4663.94) es indiscutiblemente mejor que competidores, indicando balance superior entre ajuste y complejidad para muestra finita. Desde perspectiva práctica, el modelo captura estructura de drift (tendencia alcista genuina en \(QQQ\) durante período) mediante un parámetro adicional, permitiendo que pronósticos incorporen esta tendencia en lugar de asumir movimiento aleatorio puro (Box & Jenkins, 1976; Brockwell & Davis, 2016).

---

4.5 Diagnóstico de Residuos

El proceso de diagnóstico de residuos constituye la fase final y crítica de validación del modelo ARIMA seleccionado. Un modelo bien especificado debe producir residuos que se comporten como ruido blanco: una secuencia de innovaciones aleatorias con media cero, varianza constante, y ausencia total de autocorrelación (Box & Jenkins, 1976; Brockwell & Davis, 2016). La justificación teórica es directa: si el modelo \(ARIMA\) captura correctamente toda la estructura de dependencia en los datos, entonces lo que permanece (los residuos) debe ser puramente aleatorio. Si se observa estructura residual (autocorrelación, heterocedasticidad, no-normalidad), esto indica que la especificación del modelo es incompleta: existe información temporal aún no explicada por el \(ARIMA(1,1,1)\) + drift seleccionado (Hamilton, 1994; Tsay, 2010).

El diagnóstico opera mediante tres enfoques complementarios que examinan aspectos distintos del comportamiento de residuos: (i) análisis visual gráfico que revela patrones estructurales, (ii) contrastes formales de hipótesis estadísticas que cuantifican desviaciones de ruido blanco, y (iii) evaluación de supuestos distribucionales sobre la forma de los residuos (Hyndman & Athanasopoulos, 2021; Hastie et al., 2009). Juntos, estos enfoques proporcionan evidencia convergente sobre la calidad del ajuste del modelo.

4.5.1 Análisis Gráfico de Residuos

residuos <- residuals(ModeloQA)

df_residuos <- data.frame(
  Fecha = index(residuos),
  Residuo = as.numeric(residuos)
)


p1 <- ggplot(df_residuos, aes(x = Fecha, y = Residuo)) +
  geom_line(color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.5) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  geom_hline(yintercept = c(-2*sd(df_residuos$Residuo), 2*sd(df_residuos$Residuo)), 
             linetype = "dotted", color = qqq_pal$negative, linewidth = 0.5) +
  scale_x_date(date_breaks = "6 months", date_labels = "%b %Y") +
  labs(title = "Residuos del Modelo en el Tiempo",
       subtitle = "Verificación de media cero y varianza constante",
       x = NULL,
       y = "Residuo") +
  theme_QQQ() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1))

p1

acf_resid <- acf(residuos, lag.max = 25, plot = FALSE)
df_acf_resid <- data.frame(
  Lag = as.numeric(acf_resid$lag[-1]),
  ACF = as.numeric(acf_resid$acf[-1])
)

n_resid <- length(residuos)
limite_resid <- qnorm(0.975) / sqrt(n_resid)

p2 <- ggplot(df_acf_resid, aes(x = Lag, y = ACF)) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = qqq_pal$text_gray, linewidth = 0.5) +
  geom_hline(yintercept = c(-limite_resid, limite_resid), linetype = "dashed", 
             color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.6) +
  annotate("rect", xmin = -Inf, xmax = Inf, ymin = -limite_resid, ymax = limite_resid,
           fill = qqq_pal$primary, alpha = 0.1) +
  geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.7) +
  geom_point(color = qqq_pal$secondary, size = 1.5) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 25, 5)) +
  scale_y_continuous(limits = c(-0.15, 0.15)) +
  labs(title = "ACF de Residuos",
       subtitle = "Verificación de independencia",
       x = "Rezago (Lag)",
       y = "ACF") +
  theme_QQQ()
p2

p3 <- ggplot(df_residuos, aes(x = Residuo)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), 
                 bins = 35, fill = qqq_pal$primary, 
                 color = "white", alpha = 0.7) +
  geom_density(color = qqq_pal$secondary, linewidth = 1) +
  stat_function(fun = dnorm, 
                args = list(mean = mean(df_residuos$Residuo), 
                            sd = sd(df_residuos$Residuo)),
                color = qqq_pal$negative, linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Distribución de Residuos",
       subtitle = "Verificación de normalidad",
       x = "Residuo",
       y = "Densidad",
       caption = "Línea roja punteada: distribución normal teórica") +
  theme_QQQ()
p3

El primer componente del diagnóstico examina la comportamiento temporal de los residuos (panel superior). El gráfico exhibe oscilación de residuos alrededor de una media próxima a cero, con bandas de confianza aproximadas ubicadas a ±2 desviaciones estándar. La media aritmética de los residuos es prácticamente cero (\(E[εₜ] ≈\) 0.0001), validando que el modelo es aproximadamente insesgado: no subestima ni sobrestima sistemáticamente. La varianza aparece aproximadamente constante a lo largo del período completo (octubre 2022 - septiembre 2025), sugiriendo homocedasticidad: la volatilidad de errores no cambia dramáticamente. Existe, sin embargo, un período de mayor volatilidad alrededor de noviembre 2024 donde se observa un residuo extremo (~+50), que coincide con movimientos de volatilidad elevada en mercados tecnológicos durante esa fecha.

El segundo componente examina la función de autocorrelación de residuos (panel central). En teoría, si los residuos constituyen ruido blanco verdadero, el \(ACF\) debe mostrar prácticamente todas las autocorrelaciones dentro de las bandas de confianza de ±1.96/√n. Nuestro caso exhibe esta característica: la mayoría de las 25 autocorrelaciones evaluadas caen dentro de bandas (líneas de guiones azules). Se observan algunos picos leves fuera de bandas, pero estos son aislados y de magnitud pequeña. Para n=746 observaciones, esperamos aproximadamente 5% de autocorrelaciones fuera de bandas por azar puro (5% de 25 lags = 1.25 lags esperados). Observar ~2-3 lags fuera de bandas es consistente con ruido aleatorio, sin indicación de autocorrelación residual sistemática (Box & Jenkins, 1976; Hyndman & Athanasopoulos, 2021).

El tercer componente examina la distribución de residuos (panel inferior). El histograma de densidad (barras verde) muestra forma aproximadamente simétrica y unimodal, consistente con una distribución normal. La curva de densidad empírica (línea azul) se superpone adecuadamente con la curva de distribución normal teórica (línea roja punteada) en la región central. Sin embargo, se observa que las colas de la distribución empírica son ligeramente más pesadas que lo predicho por la teoría normal: el histograma muestra más observaciones en regiones extremas (residuos < -15 y > +30) que una normal pura. Este fenómeno de “fat tails” (colas gordas) es característico de datos financieros reales, donde eventos extremos ocurren con probabilidad ligeramente mayor que lo predicho por distribución normal (Tsay, 2010; Hamilton, 1994). La presencia de colas pesadas no invalida el modelo pero sugiere que intervalos de confianza construidos asumiendo normalidad exacta pueden ser ligeramente conservadores.

4.5.2 Q-Q Plot de Normalidad

residuos_std <- scale(residuals(ModeloQA))
df_qq <- data.frame(residuos = residuos_std)

n <- length(residuos_std)
cuantiles_teoricos <- qnorm(ppoints(n))
cuantiles_observados <- sort(residuos_std)
df_qq_line <- data.frame(x = cuantiles_teoricos, y = cuantiles_observados)

fit <- lm(y ~ x, data = df_qq_line)
df_qq_line$fitted <- predict(fit, df_qq_line)

df_qq_puntos <- data.frame(
  x = cuantiles_teoricos,
  y = cuantiles_observados,
  label = paste0(
    "Cuantil teórico: ", round(cuantiles_teoricos, 3), "<br>",
    "Residuo observado: ", round(cuantiles_observados, 3)
  )
)

p_qq <- ggplot() +
  geom_line(data = df_qq_line, aes(x = x, y = fitted), 
            color = qqq_pal$negative, linewidth = 1.1) +
  geom_point(data = df_qq_puntos, aes(x = x, y = y, text = label),
             color = qqq_pal$primary, size = 2.5, alpha = 0.75) +
  labs(
    title = "Q-Q Plot de Residuos Estandarizados",
    subtitle = "Verificación de normalidad del modelo | Línea roja = distribución normal teórica",
    x = "Cuantiles Teóricos (Distribución Normal Estándar)",
    y = "Cuantiles Observados (Residuos Estandarizados)",
    caption = "✓ Puntos alineados con la línea roja indican buenos residuos normales"
  ) +
  theme_QQQ() +
  theme(
    plot.title = element_text(size = 13, face = "bold", color = qqq_pal$primary),
    plot.subtitle = element_text(size = 11, color = qqq_pal$text_gray, margin = margin(b = 8)),
    plot.caption = element_text(size = 9, color = qqq_pal$secondary, face = "italic"),
    panel.background = element_rect(fill = "#f8f9fa", color = NA),
    plot.background = element_rect(fill = "white", color = NA),
    axis.line = element_line(color = qqq_pal$text_gray, linewidth = 0.5),
    panel.grid.major = element_line(color = "#e8eef5", linewidth = 0.3),
    panel.grid.minor = element_blank()
  )

plotly::ggplotly(p_qq, tooltip = "text") %>%
  plotly::layout(
    font = list(family = "Arial, sans-serif", size = 11, color = qqq_pal$text_dark),
    plot_bgcolor = "#f8f9fa",
    paper_bgcolor = "white",
    xaxis = list(
      showgrid = TRUE,
      gridwidth = 1,
      gridcolor = "#e8eef5",
      zeroline = FALSE,
      showline = TRUE,
      linewidth = 1,
      linecolor = qqq_pal$text_gray,
      mirror = TRUE
    ),
    yaxis = list(
      showgrid = TRUE,
      gridwidth = 1,
      gridcolor = "#e8eef5",
      zeroline = FALSE,
      showline = TRUE,
      linewidth = 1,
      linecolor = qqq_pal$text_gray,
      mirror = TRUE
    ),
    hovermode = "closest",
    margin = list(l = 60, r = 30, t = 80, b = 60)
  ) %>%
  plotly::config(
    displayModeBar = TRUE,
    displaylogo = FALSE,
    collaborate = FALSE,
    modeBarButtonsToRemove = c("lasso2d", "select2d"),
    toImageButtonOptions = list(
      format = "png",
      filename = "qq_plot_residuos",
      height = 600,
      width = 900,
      scale = 2
    )
  )

El \(Q-Q\) \(plot\) (quantile-quantile plot) proporciona diagnóstico visual específico de la hipótesis de normalidad mediante comparación directa de cuantiles empíricos versus teóricos. La interpretación es intuitiva: si los residuos estandarizados siguen exactamente una distribución normal estándar, entonces cada punto debe caer precisamente sobre la línea roja de referencia. Desviaciones de esta línea indican desviaciones de normalidad (D’Agostino & Stephens, 1986; Hastie et al., 2009).

En el \(Q-Q\) \(plot\), se observa alineación muy cercana de puntos con la línea teórica en la región central (cuantiles entre -2 y +2, que representan aproximadamente 95% de la distribución). Esta es la característica más importante: en esta región central donde residen la mayoría de observaciones, la normalidad se cumple aproximadamente. Sin embargo, en las colas (cuantiles teóricos < -2 o > +2), se observa desviación sistemática: los cuantiles observados en la cola superior se sitúan por encima de la línea teórica, indicando que residuos extremos positivos son más extremos que lo predicho por una normal. Esto confirma la presencia de “fat tails” ya sugerida por el histograma.

Esta característica de colas pesadas es típica de retornos de activos financieros y no invalida el modelo \(ARIMA\), pero tiene implicaciones para inferencia: intervalos de confianza construidos asumiendo normalidad exacta pueden subesticar probabilidades de eventos extremos, potencialmente subestimando riesgo de cola (tail risk) en pronósticos. Sin embargo, para propósitos de pronóstico de series de tiempo diarias en contexto de análisis académico, la aproximación normal en la región central es suficiente (Tsay, 2010; Brockwell & Davis, 2016).

4.5.3 Test de Independencia (Ljung-Box)

El test de Ljung-Box proporciona contraste formal de la hipótesis nula de que residuos constituyen ruido blanco versus hipótesis alternativa de que existe autocorrelación residual significativa. La estadística de Ljung-Box, modificación del test de Box-Pierce de Ljung & Box (1978), se define como: \[ Q^* = n(n+2) \sum_{k=1}^{m} \frac{\hat{\rho}_k^{\,2}}{n - k} \] donde \(n\) es el número de residuos, \(m\) es el número de rezagos evaluados, y $ρ̂ₖ $ es la autocorrelación muestral en rezago k. Bajo hipótesis nula de independencia, \(Q^*\) sigue aproximadamente distribución chi-cuadrado con \(m\) grados de libertad (Box & Jenkins, 1976; Hamilton, 1994)

lb_test <- Box.test(residuals(ModeloQA), lag = 10, type = "Ljung-Box")

tabla_ljung <- data.frame(
  Métrica = c("Estadístico Ljung-Box", 
              "Grados de Libertad", 
              "P-valor",
              "Conclusión"),
  Valor = c(
    round(lb_test$statistic, 4),
    lb_test$parameter,
    round(lb_test$p.value, 4),
    ifelse(lb_test$p.value > 0.05, 
           "Residuos son ruido blanco ✓", 
           "Posible autocorrelación residual")
  )
)

kable(tabla_ljung, 
      caption = "Test de Ljung-Box: Independencia de Residuos",
      align = c("l", "c")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  row_spec(4, bold = TRUE, 
           background = ifelse(lb_test$p.value > 0.05, "#e8f5e9", "#ffe8e0"),
           color = qqq_pal$text_dark)

Test de Ljung-Box: Independencia de Residuos

Métrica	Valor
Estadístico Ljung-Box	10.1399
Grados de Libertad	10
P-valor	0.4283
Conclusión	Residuos son ruido blanco ✓

En nuestro análisis, evaluamos autocorrelación en $m=$10 rezagos. El estadístico Ljung-Box resultante es \(Q^* =\) 10.1399, con 10 grados de libertad. Bajo la distribución \(χ₁₀²\), el valor crítico al nivel de significancia 5% es \(χ²₁₀,₀.₀₅ ≈\) 18.31. Como \(Q^* =\) 10.1399 < 18.31, no rechazamos la hipótesis nula. Equivalentemente, el \(p-valor\) = 0.4283 > 0.05, proporcionando fuerte evidencia de que los residuos no exhiben autocorrelación significativa en los primeros 10 rezagos. Este \(p-valor\) de 0.43 indica que si verdaderamente los residuos fuesen ruido blanco independiente, observaríamos una estadística de prueba tan extrema o más extrema con probabilidad del 43%—es decir, el resultado es completamente consistente con independencia (Hyndman & Athanasopoulos, 2021; Tsay, 2010).

La conclusión del test es suficiente: los residuos del modelo \(ARIMA(1,1,1)\) + drift se comportan como ruido blanco independiente. Este resultado, combinado con el análisis gráfico que reveló ausencia de estructura temporal, ACF sin picos significativos, y aproximación a normalidad en región central, proporciona evidencia convergente de que la especificación del modelo es adecuada.

El único hallazgo notable es la presencia de algunos residuos extremos (especialmente el outlier de ~+50 en noviembre 2024), que coincide con período de volatilidad elevada en mercados tecnológicos. Estos son errores de predicción grandes pero aislados, no sistemáticos, consistentes con shocks de mercado exógenos que el modelo \(ARIMA\) no puede anticipar (Tsay, 2010; Brockwell & Davis, 2016). En conclusión, el modelo \(ARIMA(1,1,1)\) + drift está correctamente especificado y procede a la etapa de pronóstico.

---

4.6 Pronóstico y Evaluación

pronostico <- forecast(ModeloQA, h = 10, level = 95)

ultima_fecha <- as.Date(index(Entrenamiento)[length(Entrenamiento)])

fechas_pronostico <- c()
fecha_actual <- ultima_fecha
dias_agregados <- 0

while(dias_agregados < 10) {
  fecha_actual <- fecha_actual + 1
  if (!(weekdays(fecha_actual) %in% c("sábado", "domingo", "Saturday", "Sunday"))) {
    fechas_pronostico <- c(fechas_pronostico, fecha_actual)
    dias_agregados <- dias_agregados + 1
  }
}

fechas_pronostico <- as.Date(fechas_pronostico, origin = "1970-01-01")

4.6.1 Tabla de Pronósticos

tabla_pronostico <- data.frame(
  Día = 1:10,
  Fecha = as.character(fechas_pronostico),
  Pronóstico = round(as.numeric(pronostico$mean), 2),
  `Límite Inferior` = round(as.numeric(pronostico$lower), 2),
  `Límite Superior` = round(as.numeric(pronostico$upper), 2),
  `Amplitud IC` = round(as.numeric(pronostico$upper) - as.numeric(pronostico$lower), 2)
)

kable(tabla_pronostico,
      caption = "Pronósticos del Modelo ARIMA(1,1,1) con Drift - Intervalo de Confianza al 95%",
      align = c("c", "c", "c", "c", "c", "c"),
      col.names = c("Día", "Fecha", "Pronóstico (USD)", "Lím. Inferior", "Lím. Superior", "Amplitud IC")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(3, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary, background = "#f0f9ff") %>%
  column_spec(4, color = qqq_pal$negative) %>%
  column_spec(5, color = qqq_pal$positive) %>%
  column_spec(6, color = "#666666") %>%
  footnote(general = "IC = Intervalo de Confianza. La amplitud del intervalo aumenta con el horizonte de pronóstico.",
           general_title = "Nota: ")

Pronósticos del Modelo ARIMA(1,1,1) con Drift - Intervalo de Confianza al 95%

Día	Fecha	Pronóstico (USD)	Lím. Inferior	Lím. Superior	Amplitud IC
1	2025-10-01	600.71	589.94	611.47	21.54
2	2025-10-02	601.23	586.43	616.03	29.60
3	2025-10-03	601.61	583.40	619.83	36.42
4	2025-10-06	602.11	581.20	623.01	41.81
5	2025-10-07	602.51	579.11	625.92	46.82
6	2025-10-08	602.99	577.40	628.57	51.17
7	2025-10-09	603.41	575.76	631.06	55.30
8	2025-10-10	603.87	574.34	633.40	59.06
9	2025-10-13	604.30	572.98	635.63	62.65
10	2025-10-14	604.76	571.75	637.76	66.01
Nota:
IC = Intervalo de Confianza. La amplitud del intervalo aumenta con el horizonte de pronóstico.

4.6.2 Gráfico: Pronóstico con Intervalo de Confianza

n_historico <- 100
datos_hist <- tail(Entrenamiento, n_historico)

df_historico <- data.frame(
  Fecha = as.Date(index(datos_hist)),
  Precio = as.numeric(datos_hist),
  Tipo = "Histórico"
)

ultima_fecha <- as.Date(index(Entrenamiento)[length(Entrenamiento)])
fechas_forecast <- ultima_fecha + 1:10

df_pronostico <- data.frame(
  Fecha = fechas_forecast,
  Precio = as.numeric(pronostico$mean),
  Lower = as.numeric(pronostico$lower),
  Upper = as.numeric(pronostico$upper)
)

punto_conexion <- data.frame(
  Fecha = ultima_fecha,
  Precio = as.numeric(tail(datos_hist, 1)),
  Lower = as.numeric(tail(datos_hist, 1)),
  Upper = as.numeric(tail(datos_hist, 1))
)

df_pronostico_completo <- bind_rows(punto_conexion, df_pronostico)

ggplot() +
  geom_ribbon(data = df_pronostico_completo,
              aes(x = Fecha, ymin = Lower, ymax = Upper),
              fill = qqq_pal$secondary, alpha = 0.2) +
  geom_line(data = df_historico,
            aes(x = Fecha, y = Precio),
            color = qqq_pal$primary, linewidth = 0.7) +
  geom_line(data = df_pronostico_completo,
            aes(x = Fecha, y = Precio),
            color = qqq_pal$secondary, linewidth = 0.8) +
  geom_point(data = df_pronostico %>% filter(Fecha == max(Fecha)),
             aes(x = Fecha, y = Precio),
             color = qqq_pal$secondary, size = 2.5) +
  geom_point(data = punto_conexion,
             aes(x = Fecha, y = Precio),
             color = qqq_pal$primary, size = 2.5) +
  geom_vline(xintercept = ultima_fecha, 
             linetype = "dashed", color = qqq_pal$negative, linewidth = 0.5) +
  annotate("label",
           x = min(df_historico$Fecha) + 15,
           y = max(df_historico$Precio, df_pronostico$Upper) * 0.99,
           label = "Entrenamiento",
           fill = qqq_pal$primary, color = "white",
           fontface = "bold", size = 3, label.padding = unit(0.3, "lines")) +
  annotate("label",
           x = max(df_pronostico$Fecha) - 3,
           y = max(df_pronostico$Upper) * 1.01,
           label = "Pronóstico",
           fill = qqq_pal$secondary, color = "white",
           fontface = "bold", size = 3, label.padding = unit(0.3, "lines")) +
  scale_x_date(date_breaks = "3 weeks", date_labels = "%d %b",
               expand = expansion(mult = c(0.02, 0.08))) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format(),
                     expand = expansion(mult = c(0.02, 0.05))) +
  labs(title = "Pronóstico ARIMA(1,1,1) con Drift",
       subtitle = "QQQ (Nasdaq-100 ETF) | Últimos 100 días + 10 días de pronóstico | IC 95%",
       x = NULL,
       y = "Precio de Cierre (USD)",
       caption = "Línea verde: Datos históricos | Línea cian: Pronóstico | Área sombreada: Intervalo de confianza 95%") +
  theme_QQQ() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1))

4.6.3 Evaluación Comparativa: Predicho vs Real

reales <- head(as.numeric(Prueba), 10)
predichos <- as.numeric(pronostico$mean)
fechas_prueba <- head(as.Date(index(Prueba)), 10)

df_evaluacion <- data.frame(
  Dia = 1:10,
  Fecha = fechas_prueba,
  Real = reales,
  Predicho = round(predichos, 2),
  Error = round(reales - predichos, 2),
  Error_Abs = round(abs(reales - predichos), 2),
  Error_Pct = round((reales - predichos) / reales * 100, 2)
)

df_largo <- df_evaluacion %>%
  select(Dia, Fecha, Real, Predicho) %>%
  pivot_longer(cols = c(Real, Predicho),
               names_to = "Tipo",
               values_to = "Precio")

ggplot(df_largo, aes(x = Dia, y = Precio, color = Tipo, shape = Tipo)) +
  geom_line(linewidth = 0.8) +
  geom_point(size = 3) +
  geom_ribbon(data = df_evaluacion,
              aes(x = Dia, y = Predicho,
                  ymin = as.numeric(pronostico$lower),
                  ymax = as.numeric(pronostico$upper)),
              fill = qqq_pal$secondary, alpha = 0.15,
              inherit.aes = FALSE) +
  scale_color_manual(values = c("Real" = qqq_pal$primary, 
                                "Predicho" = qqq_pal$secondary),
                     labels = c("Predicho" = "Pronóstico", "Real" = "Valor Real")) +
  scale_shape_manual(values = c("Real" = 16, "Predicho" = 17),
                     labels = c("Predicho" = "Pronóstico", "Real" = "Valor Real")) +
  scale_x_continuous(breaks = 1:10, labels = paste0("t+", 1:10)) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format()) +
  labs(title = "Evaluación del Pronóstico: Valores Reales vs Predichos",
       subtitle = "QQQ (Nasdaq-100 ETF) | Primeros 10 días del conjunto de prueba",
       x = "Horizonte de Pronóstico",
       y = "Precio de Cierre (USD)",
       color = NULL,
       shape = NULL,
       caption = "Área sombreada: Intervalo de confianza 95%") +
  theme_QQQ() +
  theme(legend.position = "top")

4.6.4 Tabla de Errores por Observación

tabla_errores <- df_evaluacion %>%
  select(Dia, Fecha, Real, Predicho, Error, Error_Pct) %>%
  mutate(
    Fecha = as.character(Fecha),
    Real = paste0("$", round(Real, 2)),
    Predicho = paste0("$", round(Predicho, 2)),
    Error = round(Error, 2),
    Error_Pct = paste0(round(Error_Pct, 2), "%")
  )

kable(tabla_errores,
      caption = "Evaluación del Pronóstico: Errores por Observación",
      align = c("c", "c", "c", "c", "c", "c"),
      col.names = c("Día", "Fecha", "Valor Real", "Pronóstico", "Error (USD)", "Error (%)")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(3, color = qqq_pal$primary, bold = TRUE) %>%
  column_spec(4, color = qqq_pal$secondary, bold = TRUE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE) %>%
  column_spec(6, bold = TRUE) %>%
  footnote(general = "Error positivo: el modelo subestimó (valor real > pronóstico). Error negativo: el modelo sobreestimó.",
           general_title = "Nota: ")

Evaluación del Pronóstico: Errores por Observación

Día	Fecha	Valor Real	Pronóstico	Error (USD)	Error (%)
1	2025-10-01	$603.25	$600.71	2.54	0.42%
2	2025-10-02	$605.73	$601.23	4.50	0.74%
3	2025-10-03	$603.18	$601.61	1.57	0.26%
4	2025-10-06	$607.71	$602.11	5.60	0.92%
5	2025-10-07	$604.51	$602.51	2.00	0.33%
6	2025-10-08	$611.44	$602.99	8.45	1.38%
7	2025-10-09	$610.7	$603.41	7.29	1.19%
8	2025-10-10	$589.5	$603.87	-14.37	-2.44%
9	2025-10-13	$602.01	$604.3	-2.29	-0.38%
10	2025-10-14	$598	$604.76	-6.76	-1.13%
Nota:
Error positivo: el modelo subestimó (valor real > pronóstico). Error negativo: el modelo sobreestimó.

4.6.5 Métricas Finales de Evaluación

MAE <- mean(abs(df_evaluacion$Error))
RMSE <- sqrt(mean(df_evaluacion$Error^2))
MAPE <- mean(abs(df_evaluacion$Error_Pct))
ME <- mean(df_evaluacion$Error)

dentro_IC <- sum(reales >= as.numeric(pronostico$lower) & 
                   reales <= as.numeric(pronostico$upper))
pct_dentro_IC <- dentro_IC / 10 * 100

tabla_metricas <- data.frame(
  Métrica = c("Error Medio (ME)",
              "Error Absoluto Medio (MAE)",
              "Raíz del Error Cuadrático Medio (RMSE)",
              "Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE)",
              "Observaciones dentro del IC 95%"),
  Valor = c(paste0("$", round(ME, 2)),
            paste0("$", round(MAE, 2)),
            paste0("$", round(RMSE, 2)),
            paste0(round(MAPE, 2), "%"),
            paste0(dentro_IC, " de 10 (", pct_dentro_IC, "%)")),
  Interpretación = c(
    ifelse(abs(ME) < 1, "Sin sesgo sistemático ✓", 
           ifelse(ME > 0, "Modelo subestima", "Modelo sobreestima")),
    "Error promedio en USD",
    "Penaliza errores grandes",
    "Error relativo al precio",
    ifelse(pct_dentro_IC >= 80, "Intervalos bien calibrados ✓", 
           "Intervalos pueden estar mal calibrados")
  )
)

kable(tabla_metricas,
      caption = "Métricas de Evaluación del Pronóstico - Datos de Prueba",
      align = c("l", "c", "l")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover", "condensed"),
                full_width = FALSE,
                position = "center") %>%
  row_spec(0, background = qqq_pal$primary, color = "white", bold = TRUE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE, color = qqq_pal$primary) %>%
  column_spec(2, bold = TRUE) %>%
  row_spec(5, background = "#e8f5e9", color = qqq_pal$text_dark, bold = TRUE)

Métricas de Evaluación del Pronóstico - Datos de Prueba

Métrica	Valor	Interpretación
Error Medio (ME)	$0.85	Sin sesgo sistemático ✓
Error Absoluto Medio (MAE)	$5.54	Error promedio en USD
Raíz del Error Cuadrático Medio (RMSE)	$6.68	Penaliza errores grandes
Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE)	0.92%	Error relativo al precio
Observaciones dentro del IC 95%	10 de 10 (100%)	Intervalos bien calibrados ✓

4.7 Síntesis del Modelo Seleccionado

9. Conclusiones

9.1 Hallazgos Principales

[PLACEHOLDER: Resumen de hallazgos principales del análisis ARIMA]

9.2 Implicaciones Prácticas

[PLACEHOLDER: Implicaciones de los pronósticos para inversionistas y analistas de mercado]

9.3 Limitaciones del Análisis

[PLACEHOLDER: Limitaciones del modelo y aspectos no capturados]

9.4 Recomendaciones Futuras

[PLACEHOLDER: Sugerencias para mejoras y extensiones del análisis]

---

Bibliografía

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1976). Time series analysis: Forecasting and control (2nd ed.). Holden-Day.

Brockwell, P. J., & Davis, R. A. (2016). Introduction to time series and forecasting (3rd ed.). Springer.

Chatfield, C. (2000). Time-series forecasting. Chapman and Hall/CRC.

Dickey, D. A., & Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74(366), 427–431.

Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis. Princeton University Press.

Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: principles and practice (3rd ed.). OTexts. https://otexts.com/fpp3/

Jarque, C. M., & Bera, A. K. (1987). A test for normality of observations and regression residuals. International Statistical Review, 55(2), 163–172.

Ljung, G. M., & Box, G. E. P. (1978). On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika, 65(2), 297–303.

Tsay, R. S. (2010). Analysis of financial time series (3rd ed.). John Wiley & Sons.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

ASIGNATURA: Gestión de Datos
PROFESOR: Orlando Joaqui-Barandica
UNIVERSIDAD: Universidad del Valle
FACULTAD: Facultad de Ingeniería
PROGRAMA: Ingeniería Industrial

ESTUDIANTE: Camilo
FECHA ENTREGA:
VERSIÓN: 1.0

Documento generado con R Markdown | Tema: Series de Tiempo y Pronósticos ARIMA

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━